Ensembles finis Exemples

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{4 (x - 2)}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{3}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{4 (x - 2)}{x - 3}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (x - 2) x}{(x - 3) x} + \frac{3}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{3}{x}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{4 (x - 2) x}{(x - 3) x} + \frac{3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) x$ .

$\frac{4 (x - 2) x}{x (x - 3)} + \frac{3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (x - 2) x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 2) x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{(4 x - 8) x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x \cdot x - 8 x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) - 8 x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.6

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 3 x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.7

Additionnez $- 8 x$ et $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.5.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 1.5.8.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 (x) - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.8.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $4$ plus $- 9$

$\frac{4 x^{2} + (4 - 9) x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 x - 9 x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.5.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 x^{2} + 4 x) - 9 x - 9}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{4 x (x + 1) - 9 (x + 1)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 1.5.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (4 x - 9)}{x (x - 3)} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(x + 1) (4 x - 9)}{x (x - 3)} = - \frac{3}{x (x - 3)}$

Étape 3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - \frac{3}{4}, 2$

Étape 4